CHAPTER 01 / 02
复合损失生成变量变换
从一个随机变量出发，构造新的分布。
变换前 X
密度 fX(x)原分布
变换后 Y
密度 fY(y)新分布
原始取值 x0.75
映射后的 y = g(x)1.5
变换函数 g(x)
变换后的取值 y取值映射
把推导分成四步
- 确定取值范围
y > 0
- 求逆函数
x = (y−b)/a
- 写出分布函数
FY(y) = FX(g⁻¹(y))
- 乘以 Jacobian 的绝对值
fY(y) = fX(g⁻¹(y)) · |d g⁻¹(y)/dy|
变换密度不仅是替换横坐标，还需要乘以 Jacobian。区间的伸缩会改变概率密度的高度。
为什么必须乘以 Jacobian？展开阅读
对应区间的概率保持不变：fX(x) dx = fY(y) dy。当变换把横轴局部拉长时，密度会降低；压缩时，密度会升高。积分面积仍然为 1。
图中只展示主要概率范围，逆变换的右尾和对数变换的左尾会延伸到图外。标线表示当前观察的取值。