第 1 章/损失分布与累积损失
课堂实验室
CHAPTER 01 / 04

复合损失生成

从一次索赔到一个年度，再到整个损失分布。

020
0.230
0.0520
观察模式
01 · 抽取次数02 · 生成每笔金额03 · 合计并记录
01 / 一个年度，几次索赔
N = ?

从 Poisson(λ) 分布中抽取。

N∼Poisson(1)N\sim\mathrm{Poisson}(1)
02 / 每笔索赔，多少金额

点击“下一步”，开始一个年度。

每段长度与索赔金额成比例 · 金额单位一致

03 / 累积损失，汇成总额
S = ?

S = X₁ + X₂ + ··· + Xₙ

合计完成后，才计入统计。

先模拟一个年度，再重复实验，观察整个分布怎样逐渐形成。

已记录的年度数0
理论均值 E(S)5
理论方差 Var(S)27.5

零损失概率

P(S = 0) · 纵轴范围 0–100%
36.8%理论
—模拟

这是零点上的概率质量，与右图的连续密度分开展示。

累积损失分布：正损失部分

概率密度（按全部年度归一化）
模拟密度理论密度

柱面积之和 = 模拟的正损失频率；理论连续部分总面积 = 0.63212。混合密度遗漏概率 ≤ 6.4e-11。

统计量理论值模拟值相对误差
均值 E(S)5——
方差 Var(S)27.5——
零点概率 P(S=0)0.36788——

保存一个基准，比较参数变化

随机次数下：频率加倍，均值与方差都加倍；金额尺度加倍，均值加倍、方差变为四倍。

每个柱子汇集许多年度的总损失。右偏与零点概率共同构成复合分布；它通常不是单一 Gamma 分布。
从条件分布理解复合模型展开阅读
S∣N=n∼Gamma(nα,θ) (n>0),P(S=0)=e−λS\mid N=n\sim\mathrm{Gamma}(n\alpha,\theta)\ (n>0),\qquad P(S=0)=e^{-\lambda}
E(S)=λαθ,Var⁡(S)=λα(α+1)θ2E(S)=\lambda\alpha\theta,\qquad\operatorname{Var}(S)=\lambda\alpha(\alpha+1)\theta^2
fS(s)=∑n=1∞P(N=n)fGamma(nα,θ)(s),s>0f_S(s)=\sum_{n=1}^{\infty}P(N=n)f_{\mathrm{Gamma}(n\alpha,\theta)}(s),\quad s>0

索赔次数与各笔金额独立，各笔金额也相互独立。先固定次数求和，再按次数的概率混合，得到年度累积损失分布。

样本方差使用 n−1 作分母；少于两个年度时不显示。模拟存在抽样误差，更多模拟通常更稳定，但误差不保证逐次下降。相同网页种子和操作顺序可复现结果，与 R 的随机序列不要求一致。